해당 글자는 비유적으로 쫓는다[追]는 뜻을 나타내는 隹(새 추)에 손 수를 더한 글자로, 손이 닿다 > 밀다, 나아가다, 천거하다 등의 뜻을 나타냅니다. '밀다, 밀치다'의 뜻일 때는 [퇴]로 읽고, '나아가다, 천거하다'의 뜻일 때는 [추]로 읽습니다. [퇴]로 읽는 예는 퇴고 밖에 없다고 하셨는데 국어에서의 이야기라면 맞습니다. [추] 음의 뜻이 [퇴] 음의 뜻보다 더 널리 쓰이기 때문에 국어에서 상대적으로 [퇴] 음을 찾기가 어려운 것입니다. 그나마 퇴고라는 말도 한문에서 유래헌 것인데요. 한문에서는 간간이 쓰입니다. 음이 분화된 이유는 원래 隹가 [죄] 정도의 발음이어서 시간이 흐름에 따라 추 와 퇴로 변한 것입니다. 지역적인 이유도 있을 것이고 시간적인 이유도 있을 것입니다. 물론 의미 구분을 위함이기도 하고요.

추론, 유추, 추측 등의 추의 쓰임은 '밀다'가 아니라 '나아가다' 입니다. [추]로 읽으면 절대 밀다, 밀치다의 의미로는 쓰이지 않습니다. 네이버 한자사전에 '밀 추'라고 나오는데 여기서의 밀다는 천거하다, 즉 지지한다는 뜻을 말합니다.

저는 운영자님이 아니므로 저의 견해는 참고로만 보시기 바랍니다.

나그네님께서 잘 설명을 해주셨네요.
보통 우리말 '밀다'는 의미가 중의적인 뜻을 가지고 있듯이 推는 두 가지 의미로 사용됩니다.
'뒤에서 밀다' 또는 '밀어서 열다'는 의미는 (퇴)발음이고,
'밀어 올리다(내세우다)', '추앙하다', '궁구하다' 등의 의미는 (추)발음 입니다.
물론 실제 (퇴)발음 사용례는 '퇴고' 이외에는 그리 찾기도 어렵습니다.

보다 빠른 답변을 드리지 못해 죄송합니다. 참고하세요.

두분의 답변으로 많은 도움되었습니다. 감사합니다 .